la matematica esta en todas, partes se las puede ver en todo como las figuras que son geomterica

hasta la forma y longitud de caminar que es algebra y aritmetica

y como este año nos toco con nuestro queridisimo profesor yalta bueno hablare mas que nada de la geomtreia que va desde las figuras mas elementales como un simple cuadrado.

hasta figuras tan complejas como estas:



bueno y viendo que ya estamos a fines del año y por cerrar los blogs dejare unos videos de todo lo que avanzamos en el año:

marcelo delgado



Repaso para el Examen Bimestral de Mate 2

Datos Básicos acerca de la esfera

Una esfera, en geometría, es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. También se denomina esfera, osuperficie esférica, a la conformada por los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto denominado centro, es siempre la misma. La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).

Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablado, se emplean palabras como bola, globo (globo terrestre), etc., para describir un volumen esférico.

Su volumen según a lo que hemos aprendido en el colegio :

       3       

4 πR

3

Su área según Arquímedes es:

Arquímides dijo que la superficie de la esfera era también de dos tercios respecto al cilindro, entonces:

2r×2πr es el lado del cilindro, es un rectángulo con base 2πr y altura de 2r. 2πr² es el área de las dos bases circulares. Al sumar todas las áreas nos da el total de la esfera (mirar imagen).

Es más fácil recordarla al saber el volumen, ya que el área es igual a la derivada de este.

Roberto Huapaya Montes

Definición de tronco de cono

El tronco de cono o cono truncado es el cuerpo geométrico que resulta al cortar uncono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

Desarrollo de un tronco de cono

Elementos del tronco de cono

Los radios son los radios de sus bases.

La sección determinada por al corte es la base menor.

La altura es el segmento que une perpendicularmente las dos bases

La generatriz es el segmento que une dos puntos del borde de las dos bases.

Obtenemos la generatriz del tronco de cono aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

Área lateral de un tronco de cono

Área de un tronco de cono

Volumen de un tronco de cono

Ejercicios de troncos de cono

Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.

Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.

Por Guido Pacheco Ramos Nº 22

El área de la esfera, el área de un cono truncado

"Sólo hay una manera de decir que en alguna parte de todo se une completamente un algo para formar lo superior, he aquí cuando el cono truncado y la esfera se ayudan"

Juan David Valencia Castro

Introducción

Aproximar la superficie de la esfera por medio de conos truncados no es

desde luego algo nuevo. Arquíımedes utilizó conos inscritos y excritos

para mostrar que el ´area de la esfera es igual a cuatro veces el ´area de su

c´ırculo m´aximo, o en notaci´on moderna 4

´area del cilindro (sin tapa) que envuelve a la esfera (2

que muchos estudiantes encuentran sorprendente. Aqu´ı utilizaremos conos

truncados de forma distinta a la de Arqu´ımedes para ver que el ´area de la

esfera y la del cilindro que la envuelve son iguales.

¼r2. Este valor resulta ser igual al¼r2r), un resultado

Un caso especial

Considera el cono truncado que es tangente a la esfera a lo largo del paralelo

30 y queda comprendido entre dos planos paralelos, uno a trav´es del

ecuador, y otro tangente al polo. El c´ırculo de tangencia

queda exactamente a la mitad entre el borde superior del cono y el borde

inferior. Dicho de otra forma, la secci´on transversal del cono queda dividida

en dos partes iguales por el punto de tangencia (nota que no es el caso para

el arco de la secci´on de la esfera). El ´area del cono truncado est´a dada por

el producto de la longitud del segmento generador por la circunferencia del

c´ırculo medio (en este caso el c´ırculo de tangencia), esto es,

r

cos 30

±  2¼r cos 30± = 2¼r2:

Esto es igual al ´area de la mitad del cilindro que envuelve a la esfera

r

2

del cilindro queda compensada por la menor circunferencia del c´ırculo de

tangencia en relaci´on a la circunferencia del cilindro exactamente en la

misma proporciún.

¼r. La longitud mayor del segmento generador en relaci´on a la altura 

Aproximar a la esfera por medio de conos

La superficie de la esfera y el cilindro que la envuelve se cortan por planos

paralelos al ecuador. Las bandas de la esfera as´ı formadas se aproximan por

conos truncados comprendidos entre los planos de modo que precisamente

el c´ırculo medio del cono sea tangente a la esfera. La figura 2 muestra las

secciones transversales de dos conos entre planos paralelos con una distancia

z

Arqu´ımedes, los conos utilizados aqu´ı no tienen generadores de la misma

longitud, ni embonan exactamente unos con otros. El cono que aproxima

la secci´on de la esfera alrededor del polo no la “cubre” muy bien, pero esto

no causar´a ning´un problema.

La ventaja de este m´etodo, es que permite ver que el ´area de cada uno de

estos conos truncados es igual al ´area de la banda del cilindro que envuelve,

entre los planos. A diferencia de los conos excritos utilizados por

a la esfera que se obtiene por proyecci´on axial (misma propiedad que el caso

particular anterior). La longitud del generador

a lo largo del paralelo de latitud

del c´ırculo de tangencia est´a dado por

media del cono truncado mide 2

u del cono que es tangenteÁ est´a dada por u = z= cos Á. El radior cos Á, por lo que la circunferencia¼r cos Á y el ´area del cono es:

z

cos

Á

2¼r cos Á = z £ 2¼r;

que es precisamente el ´area de la banda correspondiente del cilindro. La

suma de las ´areas de los conos truncados construidos con este m´etodo, sin

importar el n´umero, es siempre igual al ´area del cilindro que es 2

4

ellos menor cada vez, los conos truncados aproximar´an mejor y mejor la

superficie de la esfera. Por tanto el ´area de la esfera es tambi´en igual a

4

heur´ıstico ligeramente distinto.

¼r 2r =¼r2. Si incrementamos el n´umero de planos y hacemos la distancia entre¼r2. El lector interesado puede tambi´en consultarpara un argumento

La felicidad es difícil porque somos
muy difíciles en materia de felicidad.

No hables de tu felicidad a alguien
menos feliz que tú.

Cuando no se tiene lo que se ama,
es preciso amar lo que se tiene.

                      (Extraído de "El Hombre que Calculaba")

                      José Antonio Benavides Castro

He aquí mi segunda entrada de curiosidades extraídas de "El Hombre que Calculaba":

Beremís nos plantea la pregunta: ¿Cómo colocar 10 soldados en 5 filas teniendo en cuenta cuatro soldados en cada fila?

La respuesta a esto es muy simple: una estrella, es decir, un pentágono con triángulos formados a partir de sus lados y poniendo a los soldados en el vértice de cada figura de la siguiente manera:

 

 Este problema de aparente solución simple es en realidad muy complicado, de no haber mencionado el resultado previamente, podría uno tardarse horas, incluso días planteandose el problema sin hallar solución.

Aquía hay un problema con un resultado muy interesante basada en la historia de Ali Baba y Los 40 Ladrones:

¿Por qué 40 ladrones?

A esto, Beremís responde algo interesante: se debe a que los ladrones robaban, es decir, sustraían, y agregaban nuevas adquiciciones a su colección, es decir, sumaban. Pues bien, el número 40 es el mayor número que, descompuesto en 4 partes igualespermite formar con esas partes, por medio de sumas y sustracciones, todos los números desde el 1 hasta el 40. Esas 4 partes, que se presentan en progresión geométrica (siendo la razón igual a 3). Son:

Así:

1 = 1                           21 = 27-9+3

2 = 3-1                        22 = 27-9+3+1

3 = 3                           23 = 27-9+3+1

4 = 3+1                       24 = 27-3

5 = 9-3-1                    25 = 27-3+1

6 = 9-3                       26 = 27-1

7 = 9-3+1                   27 = 27

8 = 9-1                       28 = 27+1

9 = 9                           29 = 27+3-1

10 = 9+1                    30 = 27+3

11 = 9+3-1                 31 = 27+3+1

12 = 9+3                    32 = 27+9-3-1

13 = 9+3+1                33 = 27+9-3

14 = 27-9-3-1            34 = 27+9-3+1

15 = 27-9-3                35 = 17+9-1

16 = 27-9-3+1           36 = 27+9

17 = 27-9-1               37 = 27+9+1

18 = 27-9                   38 = 27+9+3-1

19 = 27-9+1               39 = 27+9+3

20 = 27-9+3-1           40 = 27+9+3+1

Eso demouestra que los números, desde 1 hasta 40, pueden ser formados con los cuatro elementos 1, 3, 9 y 27 en que fue descompuesto el número 40. (en otras palabras, 3 elevado a la cero, a la 1 a la 2 y a la 3).

En las 40 relaciones formadas, se nota lo siguiente:

1) La 1 comienza con 1; las 3 siguientes, por 3; las 9 siguientes, por 9 y las 27 siguientes, por 27.

2) Cada uno de los cuatro elementos (1-3-9-27) figuran 27 veces en las 40 diferentes relaciones.

3) La suma de todos los elemento da 40.

                                                                                    José Antonio Benavides Castro

Soy sólo una cuerda inmersa en el cuadrante de la vida

"Trata de llegar a un acuerdo con tu adversario mientras van todavía al juicio"

(Mateo 5,25)

Las matemáticas (Hasta dónde yo sé), van mucho más allá del conocimiento humano, a veces, hasta llegan a chocar con las otras ciencias, y en algunos casos (Casi, podría decirce muy raros) llegan a necesitar de la ayuda de estas, tal es el caso de algo (Porque todo es poco decir) que el día (Si es que así se llama) de hoy me llamó la atención. Sé que tal vez a pocos les interesa, pero de una manera u otra me veo obligado a mencionarles. Alguna vez (Yo no vengo a juzgar), alguno de ustedes se ha puesto a preguntarce ¿Cúal es la figura cerrada que en cualquier dimensión "n" sigue siendo lo que es?, más aún ¿Cual es la figura absoluta cerrada que de una manera u otra cuando inflas otra figura va llegará a ser la primera? Ponciaré era un genio, en honor a él se puso un problema, dentro de los siete problemas del milenio "La conjetura de Ponciaré" (Ahora ya es el teorema de Ponciaré), que hace poco fue resuelto por un genio de nuestra época, Perelman.

La esfera es una figura de lo más fascinante, viéndola desde distintos ángulos sigue siendo la misma hasta sigue estando dentro de su mismo espacio, y es más topológicamente hablando, cualquier objeto cerrado en cualquier dimensión se transformará en una esfera, es decir, en la dimensión "n", el objeto cerrado básico va a ser siempre la esfera (Recuerda que es lo que siempre ha existido, siempre existe y siempre existirá). Mientras que cualquier objeto que posea aberturas siempre se transformará en una esfera. Por ejemplo en nuestra dimensión (3) un cubo sería un esfera, mientras que nosotros seríamos una dona.

¿Qué diferencia a una esfera de una dona?

Primero la superficie de una esfera está conecta no como la de la dona. Y se demuestra de la siguiente manera, pongas donde pongas una cuerda en una esfera, siempre se va a unir en un punto, mientras que en el caso de la dona se va atascar en un determinado lugar.

El problema consistía en la demostración de este teorema para lo cual se necesitaba mucha ayuda de la física, por eso cada vez las ciencias se van apoyando más.


                                    

 

Mira a tu alrededor y vas a ver que hay un montón de esferas, incluso llega a ver casos en que una dona a la vez es una esfera y viceversa (Mira al mundo y tendrás tu respuesta), por eso observa, critica, imagina. Esta solución a esta conjetura ha abierto muchos campos para la matemática y física, incluso este método se está utilizando para la cura contra el cáncer.

Pero de ahí viene una pregunta ¿Eres una dona o una esfera?

Juan David Valencia Castro

Bonitv "Resulociòn de ejercicios matemáticos Nivel 1"

Bonitv "Resulociòn de ejercicios matemáticos"

Problema del Milenio 1: P contra NP

NP contra P - Parte 1: La algoritmia como ciencia y arte

El "gran problema" de un ingeniero informático es poder encontrar un algoritmo eficiente para cualquier problema(valga la redundancia) de la vida real y que éste pueda ser computado por una máquina determinada(de Turing) consiguiendo un correcto funcionamiento y de forma que éste verifique una posible solución. La algoritmia es la ciencia que estudia técnicas para diseñar algoritmos eficientes y evaluar la eficacia de estos.

Apunto la palabra "ingeniero" debido a que en este ámbito (el de análisis y diseño de algorítmos y estudio de la complejidad computacional) es la palabra más apropiada según muchos puntos de vista, lo cual no desbanca a aficionados, académicos o autodidactas interesados en el estudio de este arte/ciencia que es la algoritmia.

Para el que no comprenda muchas de estas cosas, empezaré con un simple problema del Profesor G.B Dantzig:
Supongamos que queremos asignar 70 trabajos a 70 personas. Las limitaciones de este problema son que cada persona debe ser asignada a cualquier trabajo y que por tanto cada trabajo debe ser ocupado.

Esta clarísimo. Cualquiera que tenga ciertas nociones sobre combinatoria habrá observado que se trata de un simple conteo de permutaciones, o lo que es lo mismo, ¿cuantas formas tenemos de asignar 70 tareas a 70 personas? La respuesta: 70! (factorial de 70) asignaciones.
Aquí haré un pequeño paréntesis para explicar algunas cosas:
Un algoritmo, dicho rápidamente, es una serie de reglas o pasos que realizan un conjunto de acciones para resolver un problema. Así, p.e., un algoritmo puede ser los pasos a dar en la suma de dos numeros o incluso aquellos que damos al freir un huevo. Un programa informático cualquiera, en cambio, es una colección de líneas codificadas que, una máquina determinada es capaz de interpretar y en base a ellas, realizar automáticamente una serie de cálculos que pueden o no reflejar algún resultado.
Volviendo al problema de antes. Si estuvieramos en una clase de matemáticas, ciertamente la respuesta sería la que he puesto arriba(70! asignaciones). Pero en términos computacionales dicha afirmación es algo absurdo. Esto es porque 70! es un numero muy grande (mayor que 10 elevado a 100) y realizar tantas asignaciones en un bucle repetitivo resulta un agotamiento extremo de los recursos computacionales. Veamos este caso: Supongamos que tenemos un ordenador capaz de examinar mil millones de asignaciones por segundo. Si lo tuviéramos trabajando sobre las 70! asignaciones desde el mismo instante del "Big Bang", hace 15 mil millones de años, hoy en día aún no habría terminado los cálculos. Incluso si la Tierra estuviera cubierta de ordenadores de esas características, todos trabajando en paralelo, la respuesta seguiría siendo no. Sólo en el caso de que dispusieramos de 10 elevado a 50 Tierras, o 10 elevado a 44 Soles, todos recubiertos por ordenadores de velocidad del nano segundo, todos programados en paralelo, trabajando desde el mismo instante del Big Bang hasta el día en que ocurra el enfriamiento del Sol, entonces quizás la respuesta fuera sí.
Aquí es donde entra en juego el poder de la algoritmia. Bajo estrategias bien fundadas basadas en el diseño de algoritmos, se puede ejercer un impacto eficaz sobre la resolución de problemas. De una forma hábil y magistral se puede analizar cualquier algoritmo, estudiando su complejidad y buscando, en cualquier caso, el algoritmo más eficiente. Esto se consigue teniendo una cierta capacidad de visión sobre cómo están ordenados los datos en su naturaleza y, atajando, mediante enfoques ingeniosos pudiendo ser mencionados "de artista", la dificultad que un problema de cualquier tipo pueda ofrecernos.
Un conocido Algoritmo Húngaro resuelve el problema de la asignación de tareas en menos de nueve minutos, en contraposición de lo escrito anteriormente, y viene a demostrar la conveniencia y economía del estudio de la algoritmia, así como del desarrollo de algoritmos basados en sus procedimientos y metodologías.

En efecto, la contrucción de un algoritmo es un arte que nunca debiera automatizarse, sino sobre el que más bien hay que intervenir para favorecer, por el contrario, que a partir del estudio serio y riguroso de sus técnicas, como ocurre con las mejores creaciones artísticas, se logren obras de valor, mérito y reconocimiento mundial.

"En la vida sólo hay siete grandes problemas que no podemos resolver, el más complicado es el de vivir."

Juan David Valencia Castro

Curiosidades extraidas de "El Hombre que Calculaba"

Los cuatro cuatros.
¿Sabías que se puede formar un número cualquiera con cuatro cuatros?
Quiero formar el cero: 44 - 44
Quiero formar un uno: 44 / 44
Quiero formar el dos: 4/4 + 4/4
Formamos el tres: (4+4+4) / 4
Qué fácil es el cuatro: 4 + [(4-4)/4]
El cinco es también interesante: (4*4+4) / 4
Pasamos al seis: (4+4)/4 + 4
Alteramos un poco la anterior para el siete: 44/4 -4
Así logramos el ocho: 4 + 4 + 4 - 4
¿Y el nueve?: 4 + 4 + 4/4
¡El diez!: (44 - 4) / 4

Intenten otras formulas!!!!


La Repartición de la hernecia:

He aqui un problema muy curioso en el cual se nos relata que Beremis y su amigo, montados en un camello, se encuentran con tres hermanos que se peleaban por la herencia dejada por su padre, muy desigual he imposible de realizar equitativamente.

Eran 35 camellos: Al mayor le toca la mitad, al del medio le toca una tercera parte y al menor, una novena parte.
No se puede repartir porque a los tres les tocaria una medida inexacta e impsible (tendrían que mutilar a los animales).

Así lo resolvió Beremis:
Le pidió permiso a su amigo para dalre su camello a los hgermanos diciéndole que no se preocupe, que estaría a salvo. Este a regañadientes le dió su magnífico ejemplar.
entonces eran 36 camellos.
Al primero le tocaría la mitad: 1/2 de 36 = 18. Esto le convenía más, pues la mitad de 35 que es 17.5.
Al segundo le tocaría la tercera parte: 1/3 de 36 = 12. Esto le convenía más, pues un tercio de 35 es 11 y pico.
Al tercero le tocaría la novena: 1/9 de 36 = 4. Esto le convenía más, pues la novena parte de 35 es 3 y un tanto más.

Sumado todo, 18 + 12 + 4, nos da 34, quedando un excedente de 2 camellos, uno el del viajero y el otro obsequiado a Beremis por su astucia y justicia.
Esto tiene una explicación lógica: 1/2 + 1/3 + 1/9 es igual a 17/18 faltando 1/18 para completar la unidad. Al haber 35 camellos, esto resultaba en un problema. al modigicar el número a 36, se paso la fracción a base 36 siendo la suma de las fracciones = 34/36 quedando un excedente de 2/36.

Y así Beremis y su amigo el viajero no regresaron en un sólo camello sino en dos, cada quien en el suyo.

                                                                           
                                                           José Antonio Benavides Castro

El Hombre que calculaba

Semanalmente les estaré presentando por medio de este blog, 2 curiosidades matemáticas extraidas de uno de los mejores libros clásicos relacionados a los números: El Hombre que Calculaba, de Malba Tahan.

En este libro se nos presenta a Beremis Samir, un personaje de proscedencia humilde(pastor) quien, en sus vacaciones, junto con un extranjero, pasan anécdotas increíbles relacionadas con problemas de la vida cotidiana resueltas por el ingenio y astucia de Beremis.

                                                                                     José Antonio Benavides Castro

Un video de la arquitectura egipcia

                                                                                                             Roberto Huapaya Montes

Las interesantes pirámides

 La pirámide constituye la parte fundamental del conjunto arquitectónico destinado al culto al faraón. Es la máxima expresión de la arquitectura del Reino Antiguo. A pesar de que la función principal para la que fueron construidas era como monumento funerario, muchas no fueron nunca empleadas como tumbas.

El conjunto estaba formado , además de por la pirámide ,  por un recinto  amurallado  con camino de ronda en la parte superior y resaltos defensivos y en el interior del recinto se situaba el templo mortuorio . Estas construcciones exteriores, aseguraban el bienestar del faraón. El recinto podía incluir pirámides secundarias  que se colocaban en el ángulo izquierdo de la entrada. El acceso se realizaba por una rampa que comunicaba con el templo del valle o templo bajo. En la pirámide escalonada de Saqqara existe además un recinto del festival sed que no aparece en otras pirámides. Las 4 caras de la pirámide se orientaban a los 4 puntos cardinales y el eje mayor del recinto generalmente en sentido oeste, el templo mortuorio frente a la cara este y las pirámides subsidiarias en el ángulo suroeste.

 Las mayoría de las pirámides permiten el acceso al interior a través de un pasadizo descendente abierto en la cara norte. El techo de la cámara mortuoria estaba formado por los bloques mayores y más pasados, de toda la estructura.

 A la forma de las pirámides se llegó como una evolución lógica de la pirámide escalonada de Saqqara, la más antigua de todas. Ésta fue construida por Imhotep para el faraón Dyeser como superposición de mastabas. 

 Las mejores y más perfectas sin duda son las construidas durante la IV dinastía por faraones Jufu (Queope o Keops), Jafra (Quefrén) y Menkaura (Micerinos) en Guiza.  Si tenemos en cuenta las dimensiones de la pirámide de Keops, la más perfecta de todas las construidas (146.6 metros de altura y 230.35 de lado) y que cualquier desviación inicial en el ángulo de inclinación impediría las proporciones geométricas de que goza actualmente haciéndola mas baja o excesivamente alta para esa base, es necesario reconocer que representa el afianzamiento de una arquitectura basada en el pleno conocimiento del plano y la geometría.

 Durante el Reino Nuevo se continuaron construyendo pirámides pero con materiales perecederos por lo que su estado actual es o ruinoso o han desaparecido al perder la cubierta que las protegía. Durante las dinastías etíopes, en 400 años se construyeron en Nubia más de 180 pirámides.
Estas construcciones eran unos tetraedros por sus características notables y únicas.






                                                                                                            
                                                                                                                               Roberto Huapaya Montes