"Sólo hay una manera de decir que en alguna parte de todo se une completamente un algo para formar lo superior, he aquí cuando el cono truncado y la esfera se ayudan"
Juan David Valencia Castro
Introducción
Aproximar la superficie de la esfera por medio de conos truncados no es
desde luego algo nuevo. Arquíımedes utilizó conos inscritos y excritos
para mostrar que el ´area de la esfera es igual a cuatro veces el ´area de su
c´ırculo m´aximo, o en notaci´on moderna 4
´area del cilindro (sin tapa) que envuelve a la esfera (2
que muchos estudiantes encuentran sorprendente. Aqu´ı utilizaremos conos
truncados de forma distinta a la de Arqu´ımedes para ver que el ´area de la
esfera y la del cilindro que la envuelve son iguales.
Un caso especial
Considera el cono truncado que es tangente a la esfera a lo largo del paralelo
30 y queda comprendido entre dos planos paralelos, uno a trav´es del
ecuador, y otro tangente al polo. El c´ırculo de tangencia
queda exactamente a la mitad entre el borde superior del cono y el borde
inferior. Dicho de otra forma, la secci´on transversal del cono queda dividida
en dos partes iguales por el punto de tangencia (nota que no es el caso para
el arco de la secci´on de la esfera). El ´area del cono truncado est´a dada por
el producto de la longitud del segmento generador por la circunferencia del
c´ırculo medio (en este caso el c´ırculo de tangencia), esto es,
r
cos 30
± 2¼r cos 30± = 2¼r2:Esto es igual al ´area de la mitad del cilindro que envuelve a la esfera
r 2
del cilindro queda compensada por la menor circunferencia del c´ırculo de
tangencia en relaci´on a la circunferencia del cilindro exactamente en la
misma proporciún.
¼r. La longitud mayor del segmento generador en relaci´on a la altura Aproximar a la esfera por medio de conos
¼r 2r =¼r2. Si incrementamos el n´umero de planos y hacemos la distancia entre¼r2. El lector interesado puede tambi´en consultarpara un argumento
La superficie de la esfera y el cilindro que la envuelve se cortan por planos
paralelos al ecuador. Las bandas de la esfera as´ı formadas se aproximan por
conos truncados comprendidos entre los planos de modo que precisamente
el c´ırculo medio del cono sea tangente a la esfera. La figura 2 muestra las
secciones transversales de dos conos entre planos paralelos con una distancia
z
Arqu´ımedes, los conos utilizados aqu´ı no tienen generadores de la misma
longitud, ni embonan exactamente unos con otros. El cono que aproxima
la secci´on de la esfera alrededor del polo no la “cubre” muy bien, pero esto
no causar´a ning´un problema.
La ventaja de este m´etodo, es que permite ver que el ´area de cada uno de
estos conos truncados es igual al ´area de la banda del cilindro que envuelve,
entre los planos. A diferencia de los conos excritos utilizados pora la esfera que se obtiene por proyecci´on axial (misma propiedad que el caso
particular anterior). La longitud del generador
a lo largo del paralelo de latitud
del c´ırculo de tangencia est´a dado por
media del cono truncado mide 2
u del cono que es tangenteÁ est´a dada por u = z= cos Á. El radior cos Á, por lo que la circunferencia¼r cos Á y el ´area del cono es:z
cos
Á2¼r cos Á = z £ 2¼r;que es precisamente el ´area de la banda correspondiente del cilindro. La
suma de las ´areas de los conos truncados construidos con este m´etodo, sin
importar el n´umero, es siempre igual al ´area del cilindro que es 2
4
ellos menor cada vez, los conos truncados aproximar´an mejor y mejor la
superficie de la esfera. Por tanto el ´area de la esfera es tambi´en igual a
4
heur´ıstico ligeramente distinto.
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